Set Notation - Basic symbols, Basic concepts. [ Mathematical Appendix : Sets ] 

 1.Symbols  defining a set  : {a,b,c,…} / { x | P(x) } / / is not an element of ... / / Ω,U,X
                                       singleton/finite set/infinite set
 2.set operations   : / / / / / C       
 3.relationships between sets  : / / proper subset / intersect / disjoint 
 4.direct product     :( , ) /(,,…, )/{ , } / × /projection /××…× 





  * related pages :  Laws of Set Operations /集合系(族)・ベキ集合/対応/写像/特性関数・定義関数/集合族と集合列/被覆/極限集合/集合関数・点関数   

Contents - Sets
Contents 




1.DEFINING A  SET

You can write a set  in the two ways below :




{a, b, c,…}

enumeration

  【the way of defining a set via enumerating its elements】

 "A={ a, b, c, … }" means "A contains a,b,c,… ", " a,b,c,… belong to A".
 
  (ex)  "Perfume = { Nocchi , A-chan , Kashiyuka }"
      means "Nocchi , A-chan , Kashiyuka belong to Perfume"










{x| P (x) }

description

 【the way of defining a set via describing the property which all of its elements share】
 ・"A={ xΩ | P (x) }" , or " A={ x | P (x) } " , means
       "A is the set of all x in Ω, such that x has the property P"
    "A is the collection of all 《the objects satisfying the property P》 within 《the domain Ω》".
 ・Ω denotes "the object domain", or "the universal set" , of the property P.
  Ω is often omitted.



          * in detail → see t  .  







(reference)
 ・Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics,p.11
 ・Nakauchi,Logic Workbook,p.133;
 ・Matsuzaka,Introduction to Sets and Topology,p.3-5;
 ・Takahashi,Mathematics for Economics and Finance,pp.1-2;
 ・黒崎,集合論演習,1章III(p.11);
 ・Kume,Mathematical Statics,p.1


 ・Endertonp.2

topics - set notation
contents - sets / contents

2.BASIC SYMBOLS : ∈、∉、∅、Ω 






 

・"aA" means
  "a belongs to A"
  "A contains a"
  "a is an element of set A"

(ex)
  NocchiPerfume 
  KashiyukaPerfume
  A-chanPerfume

* What's the logical expression of "aA"?
       → ∈を表す述語・命題関数










∉ 

・" aA " means  "a does NOT belong to A"
             "A does NOT contain a"
              "a is NOT an element of set A"  

・In brief,
   aA  (aA) 

* What's the logical expression of "aA"?
   → ∈の否定を表す述語・命題関数 / 命題関数 ¬P(x)の 集合表現









* element訳語の揺れ

 ・「元」 :,岩波数学辞典,,社会科学者のための基礎数学,
 ・「要素」:,Mathematics for Economics and Finance,,昭和63年度用 高等学校数学I,啓林館

【文献】

 ・Nakauchi,Logic Workbook,pp.129-131;
 ・Matsuzaka,Introduction to Sets and Topology,p.2;
 ・Takahashi,Mathematics for Economics and Finance,1;
 ・Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics,p.12;
 ・,Encyclopedic Dictionary of Mathematics(3rd ed.), 項目162A(pp.428-429);
 ・Kume,Mathematical Statics,p.1;  
 ・Nakatani,論理, 5章命題関数と集合-5.1真理集合(p.101)
 ・竹内,集合とはな にか―はじめて学ぶ人のために,1章立場の変換-翻訳語としての集合(p.22)











aの元ではないA」   「aAc ΩA 」、「aの元ではないAc」  「aA」   [Takeuchip.37]






 






 
null set

empty set

・"" denote "a set that contains no element at all".

 That is,   φ={  } .

* What's the logical expression of "φ" ?
       → 空集合との一致を表す命題



* In this site, "φ" is used for "" because of the deficient font-design of ""  .





【theorems】 



 ・ a aの元ではないφ
    That is,  a aφ).
・For any set A, φ A   [Matsuzakapp.10-11]
*why?  φ Aと いえるわけは、任意のxに対して、xφ xA が成り立つ(*)から。
     さらに、(*)が成り立つわけは、任意のxに 対して、xφ が成り立たない(**)から。
     (**)が(*)の理由になるのが奇妙に思われるひとは、
     真理値表を用いた「ならば)」の定義を確認せよ。→その他の性質 










【文献】
 ・竹内,集合とはなにか―はじめて学ぶ人のために,1章-「空集合」(pp.52-53)
 ・Nakauchi,Logic Workbook,pp.129-131;
 ・Matsuzaka,Introduction to Sets and Topology,p.6;
 ・DeLaFuente,Mathematical Methods and Models for Economists,I-1-1(p.3)"The symbol ∅ denotes the empty set, a set with no elements. "
 ・Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics,p.13;
 ・,Encyclopedic Dictionary of Mathematics(3rd ed.),項目162A(pp.428-429); 


 ・Kume,Mathematical Statics,p.1
 ・クラメール,統計学の数学的方法,1.2(p.4)


 








【 同値条件:=φ  /  ≠φ 】 





・「集合A空集 合である」は、 
   「何も、集合Aに元として属さない
   「集合Aが一つもない」 [竹内p.53]
  と、互いに言い換えてよい。

論理記号で表すと、全体集合Ωのなかで考えているとき、
 「 A φaΩaの元ではないA) 」[竹内p.53]
         「  aΩ aA) 」  
         「 aΩ aA ) 」
              ∵ 全否定 ¬∃⇔∀¬
* 述語論理に還元
  →空集合と の一致を表す命題 
  →全否定「∀x∈Ω ¬P(x)」 「¬(∃x∈Ω P(x) )」の集合表現








・「集合A空集 合でない」は、全体集合Ωのなかで考えているとき、
   「集合Aが、一個以上、実在する」    
   「Ωのすべてのが、Aに属してないってことはない
  と、互いに言い換えてよい。

論理記号で表すと、全体集合Ωのなかで考えているとき、
 「 A φ 「 aΩ aA  」(一個以上の《Ω》が、A属す
          「 aΩ aの元ではないA )」(一個以上の《Ω》が、Aに属してなくない
             ∵二重否定 
         aΩ aの元ではないA) 」(「すべての《Ω》がAに属してないってことはない
              ∵ 部分否定 ¬∀⇔∃¬     
          aΩ aA) 」  ∵ の元ではないの 定義 
















Ω,U,X
 universal set
 space
対象とするもの全体を表す。


* What's the logical expression of "Ω"?   
   → 普遍集合への一致の述語への言い換え



 






・数学の議論で集合を取り扱う場合、余程特別なときを除いて、その議論のなかで考え る全体の集合が予め決まっており(たとえば、実数全体の集合R)、

  その議論に出てくる集合はすべて、その全体の集合の部分集合と なっている。
 この予め決まっている全体の集合を、「普遍集合」「全体集合」、幾何学的に表現して「空間」等と呼ぶ。
・「普遍集合」「全体集合」「空間」とされる具体的対象は、各議論ごとに変わってくるので、
 いま取り組んでいる数学の議論では、何が「普遍集合」「全体集合」「空間」の具体的対象であるのか、
 あるいは、いま取り組んでいる数学の議論は、「普遍集合」「全体集合」「空間」の具体的対象が何であるかにかかわりなく成立する抽象的な集合論であるの か、いちいち確認しておくこと。






 








【文献】 

 Matsuzaka,Introduction to Sets and Topology,p.16、Takahashi,Mathematics for Economics and Finance,1、,Encyclopedic Dictionary of Mathematics(3rd ed.),項目162B(pp.428-429)、クラメール,統計学の数学的方法,1.2(p.4)







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 → Mathematical Appendix : sets
 → Mathematical Appendixes

3.元の個数による集合の分類





singleton

 a set to which a single element belongs.
 (ex)
 { x }Cornelius{ OyamadaKeigo }










【文献】
 ・斉藤,集合・数・位相,1.1.11 定義(p.1)


 ・DeLaFuente,Mathematical Methods and Models for Economists,I-1-4-Correspondence(p.23)
 ・Iyanaga,Sets and Topology,§1.3(p.18): 非順序対{x,x};
【活用例】一意対応/写像/1変数関数の全単射  




 





finite set


a set
 to which
   a finite number of  elements belong.

(ex)
  {heads,tails} ,
  {  Nocchi , A-chan , Kashiyuka },
  {2,3,4} 









infinite set

a set to which  an infinite number of  elements belong.


* There are two types of infinite sets.
  ・discrete set  (countable set )
    (ex) N={1,2,3,…},I={ x | x a positive integer }
  ・continuous set   (uncountable set)
    (ex) R1={ x| -∞<x<∞ }, J={ x | 2<x<5 }











【文献】
 ・,Encyclopedic Dictionary of Mathematics(3rd ed.), 162A(pp.428-429)


 ・Nakauchi,Logic Workbook,p.138;
 ・Matsuzaka,Introduction to Sets and Topology,p.2;  
 ・Takahashi,Mathematics for Economics and Finance,p.2;
 ・Cramér, Mathematical Methods of Statistics,1.2




 


4.Set Operation







union
sum
join

・"AB" is read as  "A union B", "A cup B", ... etc.


・"AB" means   { xΩ | xA xB }
       [→ABの内包をなす述語・命題関数]









  " a(AB ) "    "  (aA)(aB ) " [Takeuchi p.27]


   * What's the logical expression ?
      →命題関数P(x)Q(x)の集合表現  









【properties】    AB= A+(BAc) [伊藤,ルベーグ積分入門,II§4有限加法的測度(p.16)]
【related topics】  A∪Bの内包をなす述語・命題関数/性質/部分集合との絡みでの性質
【reference】
 ・,Encyclopedic Dictionary of Mathematics(3rd ed.),項目162B(pp.428-429);
 ・Takeuchi,集合とはなにか,p.27
 Nakauchi,Logic Workbook,p.139;
 ・Matsuzaka,Introduction to Sets and Topology,p.12; 
 ・Nakatani, Logic, Chap5-5.2-B.(p.107) 
 ・Takahashi,Mathematics for Economics and Finance,p.3;
 ・Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics,p.14; 
 ・DeLaFuente,Mathematical Methods and Models for Economists,I-1-1(p.4)


 ・Kume,Mathematical Statics,p.1;
 ・Cramér, Mathematical Methods of Statistics,,1.3(p.4)

    * the abbreviated forms of the multiple-union of sets.

A1A2A3∪…∪An

n

i=1

Ai

 [→details/properties] 


A1A2A3∪… =


i=1

Ai

 [→details/properties] 



λΛ

Ai

 [→details/properties] 










disjoint union

・"AB" means "AB" under the condition that A and B are disjoint.

・"CAB" means



                " AB φ  " CAB ". 




【関連事項】 decomposition,partition/ multiple disjoint union  



【文献】

 ・,Encyclopedic Dictionary of Mathematics(3rd ed.),項目162B(p.429);
 ・Matsuzaka,Introduction to Sets and Topology,p.16;
 ・DeLaFuente,Mathematical Methods and Models for Economists,"partition" 











intersection
product
meet

・"AB" is read as "A intersection B","A cap B".


・"AB" means   { xΩ | xA xB }
       [→ABの内包をなす述語・命題関数]









" a(AB ) "    "  (aA)(aB ) " 

                         [Takeuchi p.26]
  * What's the logical expression ?
      →命題関数P(x)Q(x)の集合表現   









【properties】 ・AB A(AB) [高木,解析概論,第9章Lebesgue積分105節集合算(p.397)]
     ・普遍集合Ω部分集合A,Bを、どのようにつくったときでも、
      普遍集合Ωは、互いに素な4集合「AB」「ABc」「AcB」「AcBcに直和分割される。[Nakatani,論理, p.114]
       Ω    (AB) (ABc) (AcB) (AcBc)  
       * 「ABに属す元の有無を基準とした、集合A,Bの関係の二分法が、《交わる/交わらない》《互いに素でない/互いに素》。

【related topics】 A∩Bの内包をなす述語・命題関数/性質/部分集合との絡みでの性質

【reference】
 ・,Encyclopedic Dictionary of Mathematics(3rd ed.),項目162B(pp.428-429);
 ・斎藤,数学の基礎:集合・数・位相,1.1.15(p.3);1.1.11(p.6)
 ・Nakauchi,Logic Workbook,p.139;
 ・Matsuzaka,Introduction to Sets and Topology,p.14; 
 ・Takeuchi,集合とはなにか,p.26
 ・Nakatani,論理, 5章命題関数と集合-5.2集合演算-C.交わり(pp.111-5) 
 ・Takahashi,Mathematics for Economics and Finance,p.3;
 ・DeLaFuente,Mathematical Methods and Models for Economists,I-1-1(p.4)
 ・Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics,p.14; 


 ・Kume,Mathematical Statics,p.1;
 ・Cramér, Mathematical Methods of Statistics,,1.3(p.5)

    * [examples]
      ・style counciljam  { Paul Weller }
      ・YMOhappyend {  Haruomi Hosono }  
      ・YMOsadistic Mika Band { Yukihiro Takahashi }  
     * the abbreviated forms of the multiple-intersection of sets.

A1A2A3∩…∩An

n

i=1

Ai

 [→details/properties] 


A1A2A3∩… =


i=1

Ai

 [→details/properties]  



λΛ

Ai

 [→details/properties] 







Bc,B,

B

complement 

・"Bc" is read as "the complement of set B".


・"Bc" means    { xΩ |  xB }.
  That is, Bc ΩB.



          [→補集合の内包をなす述語・命題関数]





 「bB」  「bの元ではないBc」  [Takeuchi37]


 「bBc」  「bの元ではないB」 
 * Why? 
    ・「bBcb{ xΩ | x属さないB  }」∵定義:B c { xΩ | x属さないB  } 
    ・「b{ xΩ | x属さないB  }bの元ではないB」 ()  
  
 * What's the logical expression ?
    →述語論理に還元  










related page : Set-Operation-Law: complement
【文献】
 ・,Encyclopedic Dictionary of Mathematics(3rd ed.),項目162B(p429);
 ・Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics, p.15;
 ・Matsuzaka,Introduction to Sets and Topology,p.16;
 ・Takahashi,Mathematics for Economics and Finance,3. 
 ・Kume,Mathematical Statics,p.1;
 ・Cramér, Mathematical Methods of Statistics,1.3(p.6)
 ・Takeuchi,集合とはな にか―はじめて学ぶ人のために,1章立場の変換-翻訳語としての集合(pp.36-7)
 ・Nakatani,論理, 5.2-A(pp.105-6)










AB
AB


    difference
  difference set 
  subtraction





  "AB"  means { xΩ | xA xB }.



 * What's the logical expression ?    

           [→A-Bの内包をなす述語・命題関数]











【《∈差集合》の同値条件】




  「aAB」  「aA かつ a属さないB  」 [Takeuchi41]

   [→述語論理に還元]


【性質】

 AB  ABc (これを定義とするテキストもある)
     →他の性質









【文献】
 ・Takeuchi,集合とはな にか―はじめて学ぶ人のために,1章立場の変換-共通部分と和集合(pp.39-41)
 ・Nakatani,論理, 5.2-A(p.107)
 ・前原,記号論理入門, 第1章§6-6(p.15)
 ・Encyclopedic Dictionary of Mathematics(3rd ed.),項目162B(p.429);
 ・Nakauchi,Logic Workbook,p.144;
 ・Matsuzaka,Introduction to Sets and Topology,p.15; 
 ・Takahashi,Mathematics for Economics and Finance,p.3;
 ・Cramér, Mathematical Methods of Statistics,1.3(p.5)
 ・入谷久我,数理経済学入門,1.2.2(p.16)











symmetric difference


  "AB " means "(AB)(BA)".









【文献】 ・Nakauchi,Logic Workbook,p.146;


     ・Matsuzaka,Introduction to Sets and Topology,p.21; 
     ・Takahashi,Mathematics for Economics and Finance,p.3.







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 → Mathematical Appendix : sets
 → Mathematical Appendixes

5.RELATIONS BETWEEN SETS 









 inclusion
 subset


・"AB" or "BA" means
   "ωΩ(ωBωA)"
   that is,"ωB (ωA)". 


 ・"AB"  is read as "A contains B " or "A includes B".
・"BA"  is read as "B is contained in A" or "B is a subset of A".

  (ex)   PerfumeJapanese 

          "Perfume is a subset of Japanese".
      "Perfume is contained in Japanese".
      "Japanese includes Perfume".

  Every member of Perfume belongs to  Japanese .

   In fact,
   Perfume{ Nocchi , A-chan , Kashiyuka } 
   Nocchi Perfume   Nocchi Japanese   
   A-chan Perfume   A-chan Japanese 
   Kashiyuka Perfume   Kashiyuka Japanese .

  Therefore,
   "ωPerfume (ωJapanese)" is valid. 



  So,  you can say  " PerfumeJapanese ".




【negation】



・"A 含まれない B" "B 含まれない A" means the negation of  "AB " " BA" .  
   That is ,
        "A 含まれない B" "B 含まれない A"
       (AB)         (BA)
       ωB (ωA)      ωB (ωA
      ωB (ωの元ではないA)        ωB (ωの元ではないA








【the largest/smallest subset】



 ・Ω is the largest subset of Ω.
 ・φ is the smallest subset of Ω. (Chiang 1984, p.13)

【how many subsets can you make?】

  ・You cna make the 2n  subsets of a set having  n elements .
  ・すべての「集合Aの部分集合」をとしてあつめた集合を、集合Aのベキ集合という。
  ・すべてでなくてもよいから、「集合Aの部分集合」をとしてあつめた集合を、集合Aの部分集合系(部分集合族)という。










[関連事項]
 ※BA」の述語論理による表現    
 ※部分集合を一つ選ぶことは、特性関数・定義関数を使った数式で表現可能。
 ※性質:1/2 

[文献]
 ・Takeuchi,集合とはなにか―はじめて学ぶ人のために,1章-「部分集合」(pp.49-51)
 ・Matsuzaka,Introduction to Sets and Topology,1章§1-D(pp.6-11);
 ・,Encyclopedic Dictionary of Mathematics(3rd ed.),項目162A(pp428-429)
 ・Nakauchi,Logic Workbook,p.134;
 ・Nakatani,論理, 5.3-A(p.119)
 ・Iyanaga,Sets and TopologyI, 問題1.9(pp.22-23)

 ・永倉・宮岡,解析演習ハンドブック[1変数関数編],1.1.1(p.1)
 ・Takahashi,Mathematics for Economics and Finance,2;
 ・Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics,p.12; 
 ・DeLaFuente,Mathematical Methods and Models for Economists,I-1-1(p.3)
 ・Kume,Mathematical Statics,p.1;
 ・クラメール,統計学の数学的方法,1.1(p.3)











 【包含関係の同値条件】

  ・ AB」「BA」は、「AcBc」「ABc= Ω」「AcB = φ」「BA =  φ」と互いに言い換え可。  [→詳細]
  ・ A含まれないB」「B含まれないA」は、「Ac含まれないBc」「ABc≠Ω」「AcB ≠ φ」「BA φ」と互いに言い換え可。  [→詳細]
  ・ A含まれないB」「B含まれないA」は、「Ac含まれないBc」「AcB≠Ω」「ABc ≠ φ」「AB φ」と互いに言い換え可。  [→詳細]

  ・ AB  BA   ABA  ABB      

          [AB  ABA : Nakatani,論理, 5.3-B-(5.2.30)(p.123):証明付(p.124);Nakauchi,Logic Workbook,例3.1.20(p.141)証明付;]
          [AB  ABB : Nakatani,論理, 5.3-B-(5.2.32)(p.124):証明略。練習問題4-1(2)(p.125):証明略;Nakauchi,Logic Workbook,例3.1.20(p.141)証明付  ]                














equal


・"A=B" is read as "Set A and Set B are equal".

・"A=B" means "xΩ xA xB )"
                     that is, "BA and BA".
 



       *  A=Bの一階述語論理による表現 







AB menas (A=B). 









(reference)



 ・Takeuchi,集合とはな にか―はじめて学ぶ人のために,1章立場の変換(p.30)
 ・Nakatani,論理, 5章命題関数と集合-5.1真理集合-一意性の公理(外延性の公理)(p.103)
 ・Encyclopedic Dictionary of Mathematics(3rd ed.),項目162A(pp428-429);
 ・前原,記号論理入門, 第1章;§6(p.11
 ・Nakauchi,Logic Workbook,p.134;
 ・Matsuzaka,Introduction to Sets and Topology,pp.6-11; 
 ・Takahashi,Mathematics for Economics and Finance,2;
 ・DeLaFuente,Mathematical Methods and Models for Economists,I-1-1(p.3)
 ・Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics,p.12; 
 ・クラメール,統計学の数学的方法,1.1(p.3)











proper subset


AB」「B A
  is read as "A is the proper subset of B".

・"AB" "B A" means "AB but AB ".



          







intersect


・"A and B intersect"
  "A and B are not disjoint" 
   means
  "ABφ" 

* どういうこと?
  → ビギナー向け「交わる」定義 [図解つき] 
* どういうタイプがあるの?
  → 「集合A,Bが交わる」の諸類型 
* (1)と互いに言い換え可能な表現は多数ある。


         → 「交わる」の同値条件一覧  






disjoint



 ・"A and B are disjoint"
 "A and B do NOT intersect"
 means
   "AB φ".

* どういうこと?
 → ビギナー向け「互いに素」定義 [図例つき]
* 英語表記は?
 → 「互いに素」定義 [英語表記つき]  
* (1)と互いに言い換え可能な表現は、
  「 ABc 」「 Ac B」など、多数ある。
    [活用例:外点定義の諸表現/境界点定義の諸表現]


          → 「互いに素」の同値条件一覧 
          → 「互いに素」の述語論理への還元 





(reference)



 ・Encyclopedic Dictionary of Mathematics(3rd ed.),項目162B(p.429);
 ・Takeuchi,集合とはなにか―はじめて学ぶ人のために,1章-「空集合」(pp.53-54):「互いに疎」
 ・Nakauchi,Logic Workbook,定義3.1.25(p.144)
 ・Matsuzaka,Introduction to Sets and Topology,1章§2-B(p.14);1章§2問題2(p.21):解答なし
 ・Matsuzaka,解析入門3,12.1-c(p.7)
 ・黒崎達,集合論演習,1章Ⅳ補充雑題(2) (p.26)
 ・永倉・宮岡,解析演習ハンドブック[1変数関数編],1.1.2(p.1)
 ・DeLaFuente,Mathematical Methods and Models for Economists,I-1-1(p.5)"Two sets A and B are disjoint if they have no elements in common."






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 → Mathematical Appendix : sets
 → Mathematical Appendixes

5.direct product






(a,b)
ordered pair

・ (a,b) means
   the ordered pair of 《an element a of set A》 and 《an element b of set B》.

* You should treat (a,b) and (b,a) as the different ordered pairs unless  a=b.



       * "(a,b)=(c,d)" "ac bd".





(a1,a2,,an)
  n-tuple
 (a1,a2,,an) means ( (( (a1,a2),a3),…),an) .


  





* "(a1,a2,,an)(a'1,a'2,,a'n)"  "a1a'1a2a'2ana'n" 

* 活用例:n次元数ベクトル

(reference)

  Encyclopedic Dictionary of Mathematics(3rd ed.),項目162(p.429);
 ・Matsuzaka,Introduction to Sets and Topology,1章§5D(p.46);
 ・斉藤,集合・数・位相,1.1.11定義(p.6)。




 








(reference) 

 ・Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics,p.18; Encyclopedic Dictionary of Mathematics(3rd ed.),item162(p.429);Matsuzaka,Introduction to Sets and Topology,1章§3A(p.22);Takahashi,Mathematics for Economics and Finance,3;
 ・Iyanaga,Sets and TopologyI,§2.2順序対、直積、対応、写像(pp.31-2);Satsuma,Probability and Statistics,p.6












{a,b}
 ・ {a,b} means
   the unordered pair of 《an element a of set A》 and 《an element b of set B


 unordered  * You should treat {a,b} and {b,a} as the same unordered pairs even if ab.
 pair             





(reference)
 『Encyclopedic Dictionary of Mathematics(3rd ed.)項目162(p.429)









A×B
 direct product
 Cartesian product
・"A×B" menas   {  (a,b)  | aA bB }. [→detail]
・"A×B" is read as "A cross B".   


   * "A2" is the abbreviated form of "A×A".[ → abbr ] 




reference

直積の元の個数/直積と空集合/直積の包含関係/直積と∪/直積と∩ 
二項述語の議論領域/二項述語の真理集合/R2








  projection

・a mapping " f  :  A×BA"
 or
 a mapping " f  :  A×BB  
 is called a "projection". 










【reference】
 ・Encyclopedic Dictionary of Mathematics(3rd ed.),項目162E(p.431)


 ・Matsuzaka,Introduction to Sets and Topology,1章§5D(p.48);
 ・Iyanaga,Sets and TopologyI,§2.2順序対、直積、対応、写像(pp.33-4);




 






A1×A2×…×An

* applications :
・"A1×A2×…×An"
   menas {  (a1,a2,…,an)  | a1A1 a2A2 anAn  }. 
 


   ・距離空間の台としての実数体のn個の直積Rn
   ・K上のn次元数ベクトル空間の台としての体Kのn個の直積Kn  





【reference】

 ・Encyclopedic Dictionary of Mathematics(3rd ed.),項目162(p.429);
 ・Matsuzaka,Introduction to Sets and Topology,1章§5D(p.46);
 ・Saito,集合・数・位相,1.1.11定義(p.6)。






 → Set Notation : contents
 → Mathematical Appendix : sets
 → Mathematical Appendixes



6.etc.

family of sets : a set of sets, strictlly, a set whose elements are sets.すべてのが集合である集合。集合の集合。→detail
Power set, Potenzmenge:a set  made of all the subsets  →detail
set functionreal valued set functiondetail